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Kongruenzsätze

Kongruenzsätze werden in der Geometrie angewandt. Kongruent heißt deckungsgleich. Dieser Zustand kann erreicht werden, wenn zwei Figuren gespiegelt oder verschoben werden.

Kongruenzsätze

Insgesamt gibt es vier Kongruenzsätze.

Der erste lautet: Wenn zwei Dreiecke in allen Seiten gleich sind, sind sie kongruent. Dies bedeutet, dass sie automatisch den gleichen Flächeninhalt sowie die gleichen Winkel haben.
Benötigt wird hierfür ein Zirkel, ein Geodreieck, Papier und ein Bleistift. Es wird mit den Seiten a,b und c gerechnet. Zunächst wird die Strecke c unten gezeichnet, je nach Aufgabenlänge. Die Seite c liegt zwischen den Punkten A und B. Dann wird der Zirkel auf die cm Länge von Seite b gestellt und um Punkt A die Strecke mit dem Zirkel gezeichnet. Nun fehlt noch die Seite a, die wird ebenfalls mit dem Zirkel und der Längenangabe für die entsprechende Seite eingestellt und die Strecke wird am Punkt B angesetzt mit dem Zirkel. Nun ist Punkt C vorhanden, nämlich dort, wo die beiden Zirkelstriche sich berühren. Nun kann das kongruente zweite Dreieck gespiegelt werden.

Der zweite Kongruenzsatz lautet: Wenn zwei Dreiecke sich in zwei Seiten und dem geschlossenen Winkel gleichen, sind sie kongruent.

Der dritte Kongruenzsatz heißt: Wenn zwei Dreiecke in einer Seite und zwei gleichliegenden Winkeln übereinstimmen, sind sie kongruent.

Vierter Kongruenzsatz: Stimmen zwei Dreiecke in zwei Seiten und in dem Gegenwinkel der größeren Seite überein, sind sie kongruent.

Einer von Kongruenzsätzen bei Quadraten ist der Satz des Napoleon. Dieser besagt, dass wenn über jeder Seite eines Parallelogramms ein Quadrat gebildet wird, so bilden auch die Quadratmitten ein Quadrat.

 

Beweise mit Kongruenzsätzen

Kongruenzsätze sind die Grundlage für ein häufiges Beweisverfahren in der Trigonometrie. In diesem Beweis wird die Gleichheit von zwei Strecken oder von zwei Winkeln darin begründet, dass die Kongruenz zweier Dreiecke gezeigt wird, um die Gleichheit der Seiten und der Winkel zu begründen.
Beim Basiswinkelsatz findet der 4. Kongruenzsatz Anwendung. Der Basiswinkelsatz lautet: In einem gleichschenkligen Dreieick sind alle Winkel gleich groß.
Auch ein Beweis im Bereich der Kongruenzsätze ist der Satz über Mittelsenkrechten. Hier heißt es, dass jeder Punkt auf Mittelsenkrechten einer Strecke AB zu beiden Punkten den gleichen Abstand hat.

Trigonometrie und Kongruenzsätze

In der Trigonometrie, in der die Geometrie von Dreiecken auf einer Ebene untersucht wird, wird ebenfalls mit Kongruenzsätzen gearbeitet. Grund hierfür ist, weil in der Trigonometrie das Hauptaugenmerk auf den Beziehungen zwischen Seitenlängen und Winkeln liegt. Unter Mitwirkung der Winkelfunktionen wird anhand des Sinus- und Kosinussatzes sowie des Satz des Pythagoras die Lösung der Vermessung erarbeitet.